淺談高中數學應用問題的教學
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淺談高中數學應用問題的教學


作者:admin    文章來源:本站原創    點擊數:    更新時間:2006-8-9

甘肅渭源二中 郭世峰
 
摘要: 培養和提高學生的數學應用意識,是中學數學教學的迫切要求,在中學數學教學的始終都應注重學生應用意識的培養。高中數學新教材在每章開頭的序言,問題引入,例、習題,“實習作業”和“研究性課題”中都編排了大量的應用問題,應根據高中學生的認知規律和思維特點進行應用問題的教學,培養學生的應用意識和應用能力。

關鍵詞: 數學 課程 應用意識 實踐

培養和提高中學生的數學應用意識,使學生掌握提出、分析和解決帶有實際意義的或在相關學科,生產、生活中的數學問題,準確而靈活地運用數學語言研究和表述問題,是中學數學教育教學的迫切要求,在中學數學教學過程的始終都應注重學生應用意識的培養,加大應用問題的教學力度。

一、高中數學新教材中的應用問題

傳統教材對知識的來龍去脈和數學的應用重視不夠,不重視引導學生運用所學知識解決日常生活、生產中遇到的實際問題,學生學數學用數學的意識不夠,解決實際問題的能力脆弱。新教材對此做了大的調整,增加了具有廣泛應用性、實踐性的教學內容,重視數學知識的運用,增強數學應用意識,提高學生分析問題,解決問題的能力,把培養學生運用數學的意識貫穿在教材的各個方面。

1 、每一章的序言,都編排了一個現實中的應用問題,引入該章的知識內容,以突出知識的實際背景。如在第三章《數列》以趣味話題:“國王對國際象棋棋盤發明者獎勵的麥粒數 ”的計算作為章頭序言,激發學習欲望,增加教材內容的趣味性。

在教材的編排上,既用通俗易懂的語言,陳述問題,又附以插圖增強直觀形象性、趣味性。

2 、在研究“具體問題”時以實際例子引入課題

高中數學的十章內容中,分別就概念引入、實例說明、數學表示等方面有三十一處都恰當的運用了實際問題和具體情景。如用“不同重量信件的郵資問題”表示分段函數,用功和位移的關系引入向量數量積的概念等。實例引入增強了問題的實際背景,為順利解決問題作了鋪墊。

3 、例題中的應用問題

例題中安排應用問題,一方面可以培養學生閱讀能力、分析問題、解決問題的能力,培養學生的應用意識,而且通過范例講解,使學生掌握解決應用問題的一般思想和方法。新教材的十章內容中共有 41 個例題是涉及數學應用的,占例題總數的 14.6% ,它們都非常接近學生的生活實際和所學知識,難易適中,示范性強。

4 、練習、習題、復習題中增加了應用問題的分量

為使學生鞏固所學知識,逐步提高分析問題、解決問題的能力,新教材在練習題,習題,復習題中增加了大量的應用問題,其中練習題有 45 題,占總數的 12.4% ;習題有 105 題,占總數的 18.15% ;復習題有 50 題,占總數的 14.91% 。分別涉及增長率、行程問題、物理、化學、生物問題,儲蓄等各個方面,量大面寬,情景新穎,融知識性,趣味性,自主實踐性于一體。

5 、閱讀材料

問題生動有趣,貼近學生生活,擴大學生閱讀面的閱讀材料,新教材中共安排了 15 個,其中:

( 1 )歷史故事方面的,如第二章《函數》的“對數和指數發展簡史”,第五章《平面向量》中的“人們早期是怎么樣測量地球的半徑的?”

( 2 )介紹數學應用方面,如第八章《圓錐曲線的光學性質及應用》,第十章《抽簽有先后,對各人公平嗎?》。

( 3 )擴充知識方面,有第五章《平面向量》中的“向量的三種類型”等。

6 、新增了“實習作業”和“研究性課題”。

為了使學生親自體驗數學知識的應用,靈活運用數學知識解決實際問題,加強學生學習的自主活動性,培養綜合運用知識的能力。新教材安排了三次實習作業,一是 “函數關系的實習作業”,讓學生調查研究附近商店、工廠、學校潛在的函數問題;二是利用“平面向量”知識解決不能直接測量的距離、方向問題。三是“線性規劃的實際應用”。

研究性課題是培養學生應用意識和創新能力的重要內容,新教材分別在第三、五、七、九章中安排了四個研究性課題:“分期付款中的有關計算”、“向量在物理學中的應用”、“線性規劃的實際應用”、“多面體歐拉定理的發現”,讓學生動手操作,選擇優化方案、歸納概括,恰當建模,運用理論指導實踐。

二、高中數學應用題問題的教學實踐

高中學生年齡一般在 15 — 17 周歲,他們認識過程的各種心理成份雖已接近成人的水平,但智力活動帶有明顯的隨意性,其抽象思維從“經驗型”向“理論型”急劇轉化。能夠逐步的擺脫具體形象和直接經驗的限制,借助于概念進行合乎邏輯的抽象思維活動,開始在教師幫助下獨立地搜集事實材料,進行分析綜合,抽象概括事物的本質屬性。因此,應結合學生的心理特點和思維規律,進行應用問題的教學。

1 、重視基本方法和基本解題思想的滲透與訓練

為培養學生的應用意識,提高學生分析問題解決問題的能力,教學中首先應結合具體問題,教給學生解答應用題的基本方法、步驟和建模過程,建模思想。

教學應用題的常規思路是:將實際問題抽象、概括、轉化 -- à 數學問題 à 解決數學問題 à 回答實際問題。具體可按以下程序進行:

( 1 )審題:由于數學應用的廣泛性及實際問題非數學情景的多樣性,往往需要在陌生的情景中去理解、分析給出的問題,舍棄與數學無關的因素,抽象轉化成數學問題,分清條件和結論,理順數量關系。為此,引導學生從粗讀到細研,冷靜、慎密的閱讀題目,明確問題中所含的量及相關量的數學關系。對學生生疏情景、名詞、概念作必要的解釋和提示,以幫助學生將實際問題數學化。

( 2 )建模:明白題意后,再進一步引導學生分析題目中各量的特點,哪些是已知的,哪些是未知的。是否可用字母或字母的代數式表示,它們之間存在著怎樣的聯系?將文字語言轉化成數學語言或圖形語言,找到與此相聯系的數學知識,建成數學模型。

( 3 )求解數學問題,得出數學結論

( 4 )還原:將得到的結論,根據實際意義適當增刪,還原為實際問題。

例:某城市現有人口總數 100 萬人,如果年自然增長率為 1.2 %,寫出該城市人口總數 y( 人 ) 與年份 x( 年 ) 的函數關系式

這是一道人口增長率問題,教學時為幫助學生審題,我在指導學生閱讀題時,提出以下要求:

——粗讀,題目中涉及到哪些關鍵語句,哪些有用信息?解釋“年自然增長率”的詞義,指出:城市現有人口、年份、增長率,城市變化后的人口數等關鍵量。

——細想,問題中各量哪些是已知的,那些是未知的,存在怎樣的關系?

——建模,啟發學生分析這道題與學過的、見過的哪些問題有聯系,它們是如何解決的?對此有何幫助?

學生討論后,從特殊的 1 年、 2 年…抽象歸納,尋找規律,探討 x 年的城市總人口問題: y=100(1+1.2%) x .

2 、引導學生將應用問題進行歸類

為了增強學生的建模能力,在應用問題的教學中,及時結合所學章節,引導學生將應用問題進行歸類使學生掌握熟悉的實際原型,發揮“定勢思維”的積極作用,可順利解決數學建模的困難,如將高中的應用題歸為:①增長率(或減少率)問題②行程問題③合力的問題④排列組合問題⑤最值問題⑥概率問題等。這樣,學生遇到應用問題時,針對問題情景,就可以,通過類比尋找記憶中與題目相類似的實際事件,利用聯想,建立數學模型。

3 、針對不同內容采取不同教法

高中新教材的數學應用問題遍及教材的各個方面,教學時針對不同內容,有的放矢,各有側重,就會取得較好的效果。

( 1 )章頭序言,指導閱讀,留下懸念

對圖文并茂的章頭序言,由教師簡單提出或由學生閱讀,使學生稍作碰壁,留下解題懸念,增強解決問題的欲望。

( 2 )重視例題的示范作用

例題是連接理論知識,與問題之間的橋梁,示范性強。因此在講解例題時應在分析題目各個量的特點關系,建模,解決數學問題、還原為實際問題諸環節都應很好的起示范作用,教師應重視例題的分析與講解,積極進行啟發式教學,培養學生分析問題,解決問題、尋求基本實際模型的能力,重視數學理論知識與實際應用的聯系。

( 3 )指導練習,鞏固方法

充分運用課本的練習題、習題、復習題,讓學生自己動手、動腦,應用所學的知識解決實際問題。練習題位于具體的理論知識后面,建模方向性強,教師只需稍作指導;而習題則更多利用教師批改作業的機會,主要糾正數學語言轉化過程,及解題的規范過程;復習題由于綜合性強,學生解決有困難,教師要給予必要的指導、提示。

( 4 )課外閱讀,補充提高

對于不作教學要求的閱讀材料,根據教學進度提出閱讀要求,布置學生進行課外閱讀,培養學生的閱讀能力,擴大知識面,激發學生的學習興趣。

( 5 )實習作業,重視實際操作與團結協作

完成實習作業,可以打破單一沉寂的課堂教學氛圍,激發學生的探索精神,培養學生的實踐能力,進一步培養學生應用數學的意識和創新能力。但實際問題的因素是錯綜復雜的,這就要求學生在調查、分析、研究的基礎上,抓住本質,通過篩選,去粗取精,結合數學知識,進行建模解決實際問題。如第五章《三角函數》中的實習作業,對不能直接測量的兩點的距離,教師選定符合要求的地點,組織學生實際測量,通過計算器進行計算,學生興致很高,特別是對“已知兩邊和一對角”解三角形的三種情況,通過動手操作,實地測量,加深影響,激發了學生的探索精神,增強了學生的感性認識。

( 6 )研究性課題,重視自主探究

“研究性課題”是新教材中的一個專題性欄目,具有探究性和應用性的特點,它既是所學內容的實際綜合應用,又對學生探究和解決問題具有較好的訓練價值。

§ 3.6 的“研究性課題”,一個有關分期付款的問題,因為很多人一次性地支付售價較高的商品款額有一定困難,另一方面不少商家也不斷改進營銷策略,方便顧客購物和付款,它與每個家庭的日常生活密切相關,在今天的商業活動中應用日益廣泛。對它的探究將會引起學生極大的興趣,教學這一課題時,應突出以學生探究為主,教師點拔、介紹為輔,教師不斷提出問題,介紹情況、啟發誘導。鼓勵學生研究和探索。

第一步,讓學生閱讀教材 P 134 的方案表,明確每個付款方案的次數、方式。

第二步,引導學生探究第二種方案,即分 6 次付清,購買后第 2 個月第一次付款,再過 2 個月第 2 次付款,…購買后 12 個月第 6 次付款,月利率為 0.89 %,每月利息按復數計算。

首先,學生根據要求試做,不少學生得出每期付款 元,也有學生得出每期付款 元。這時教師不必指出對錯,進一步分析、調整學生思維,這兩種方式對誰有利?學生計算后,自然得出前者對顧客有利,商家吃虧,而后者對商家有利,顧客吃虧,都不符合買賣公平的原則。

然后,教師適時的指出分期付款的條件,引導學生將原問題進行以下分解:

①商品售價時的貨款到全部付清時增值到多少?

②各期所付款額到貸款全部付清時分別增值到多少?

③利用付款中的有關規定列出方程:

最后,引導深化——研究不同方案及一般結論,讓學生計算方案 1 、 3 ,教師巡視指導,再由學生分組交流、比較結果,選擇最優方案,得出一般結論。

三、對高中數學應用問題的教學建議

1 、在數學應用問題的教學和對學生學習的指導中,應重視介紹數學知識的來龍去脈。

一般情況下,數學知識的產生不外乎實際的需要和數學內部的需要,高中階段所學的知識大都是來源于實際生活,許多的數學知識都有具體直接的應用,如高二運用不等式的性質計算最值,線性規劃,高三的概率統計等。應該讓學生充分實踐和體驗這些知識是如何使用的,在此基礎上讓學生感受和體驗數學的應用價值。

2 、學會運用數學語言描述周圍世界中出現的數學現象

數學語言可以清楚、簡潔、準確地描述日常生活中的許多現象,讓學生養成樂意運用數學語言進行交流的習慣,既可以增強學生應用數學的意識,也可以提高學生運用數學的能力。在教學中,需幫助學生形成一個開闊的視野,了解數學對于人類發展的應用價值。在知識實踐,能力培養的基礎上,教師應主動地向學生展示現實生活中的數學信息和數學的廣泛應用,向學生提供豐富的閱讀材料,讓學生感受到現實生活與數學知識是密切相關,處處聯系的。

3 、關于應用問題中的算法問題

新教材要求用科學計算器,處理、計算數值,在例題、習題中給出的數據都比較復雜,我認為高中數學應用題的重點是數學建模,所以正確建模,明白算法、算理應占主流,一味追求“實際”,多次出現一些復雜數據,會沖淡主要問題的解決。事實上,每節中只要有一兩道實際數據的題目,其他的可選擇特殊數據或干脆用字母表示,不僅可突出算理,而且會加強應用問題的分析,節省時間,體現字母代數的優越性。 

參考書目:

1 、全日制普通高級中學教科書(試驗修訂本·必修)數學 第一冊[ M ].北京:人民教育出版社. 2000 年

2 、王尚志.培養學生的應用意識是數學課程的重要目標[ J ].數學教育學報. 2002 ,( 2 )

3 、方明一.積極穩妥地進行數學課程改革[ J ].高中數學課程教材講習班專家講課講稿. 2001 年 7 月.昆明

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